t → 1/(1 + t 2) est la fonction drive de la
fonction arc tangente; on en dduit f(x) < atn(x)
- atn(0) = atn(x); la fonction atn admet la droite d'quation y = π/2 comme
asymptote horizontale au voisinage de +∞. On a donc f(x) < π/2 pour tout x
de R +. 3b) Selon la question prcdente, f est
borne; ce qui ne signifie nullement qu'elle admet une limite l'infini
(considrer, par exemple, la fonction sinus). On considère la fonction f définie par : f(x) = x²-2 1) calculer l'image par la fonction f de 5 et de -6 2)calculer les antécédents par. Sur R +, la fonction f est strictement
croissante et borne. Le fait d'avoir f(x) < π/2 pour tout x de R +
ne signifie pas que sa limite est π/2. Ce nombre n'est qu'un majorant de f(x). Mais, d'aprs le thorme de
Bolzano-Weierstrass, l'ensemble de ses valeurs admet une borne suprieure
λ ≤ π/2. C'est dire que la droite d'quation y = λ est asymptote
horizontale la courbe reprsentative de f au voisinage de + ∞. La
question suivante conduit au calcul de λ:
4) On sait que
( »
intgrale de Gauss)
Dans l'intgrale ci-dessus, posons X = t/√2; on a dt = √
Par suite:
L'intgrale du second membre est la limite en +∞ de f; donc:
5a) f(0) = 0 et f '(0)
= e o = 1, f(0) = 0.