La démonstration du théorème requiert donc que nous prouvions successivement que:
Entamons les hostilités:
(i) Si = alors ils ont même coordonnées. Ou plutôt les coordonnées de lun sont les coordonnées de lautre. Ainsi vient-il que
x = x et y = y. Réciproquement:
(ii) Supposons que x = x et y = y. Ainsi les vecteurs (x; y) et (x'; y') sont-ils égaux. Ce qui quelque part est quand même rassurant! Coordonnées de vecteur, addition vectorielle et produit par un réel. Lavantage des coordonnées, cest quelles laissent tout passer: de vraies carpettes! De modestes preuves de ce modeste théorème:
Lénoncé comportant deux points, la démo comportera donc deux points. Il vient alors que:
Autrement dit, le vecteur k. a pour coordonnées (k. x; k. y). LE COURS : Vecteurs et repérage - Seconde - YouTube. Lien entre coordonnées dun vecteur et celles dun point. Les coordonnées dun vecteur peuvent sexprimer en fonction des celles de A et de celles de B. La preuve (après la proposition... )
La preuve:
En effet, si A et B ont pour coordonnées respectives (x A; y A) et (x B; y B) alors
Ainsi:
Ainsi les coordonnées vecteur sont-elles (x B - x A; y B - y A).
Geometrie Repère Seconde Partie
Si les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires, le repère $(O;I, J)$ est dit orthogonal. Si le repère $(O;I, J)$ est orthogonal et que $OI = OJ$ alors le repère est dit orthonormé. Définition 7: On considère le repère $(O;I, J)$. Le point $O$ est appelé l'origine du repère. La droite $(OI)$ est appelé l' axe des abscisses. La longueur $OI$ est la longueur unité de cet axe. La droite $(OJ)$ est appelé l' axe des ordonnées. La longueur $OJ$ est la longueur unité de cet axe. Repère orthonormé
Repère orthogonal
Remarque 1: Puisque la longueur $OI$ est la longueur unité de l'axe des abscisses, cela signifie donc que $OI = 1$. C'est évidemment valable pour les autres axes. Remarque 2: Les axes ne sont pas nécessairement perpendiculaires en général mais le seront très souvent en 2nd. Geometrie repère seconde chance. Définition 8: Soit $M$ un point du plan muni d'un repère $(O;I, J)$. On construit le parallélogramme $OM_xMM_y$ tel que:
$M_x \in (OI)$
$M_y \in (OJ)$
On note alors $x_M = OM_x$ et $y_M = OM_y$. Le couple $\left(x_M, y_M\right)$ est appelé coordonnées du point $M$.
Geometrie Repère Seconde Générale
Remarque 1: Cette propriété est valable dans tous les repères, pas seulement dans les repères orthonormés. Remarque 2: Cette propriété sera très utile pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme ou pour déterminer les coordonnées du quatrième sommet d'un parallélogramme connaissant celles des trois autres. Fiche méthode 1: Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Fiche méthode 2: Déterminer les coordonnées du 4ème sommet d'un parallélogramme
3. Geometrie repère seconde partie. Longueur d'un segment
Propriété 8: Dans un plan munit d'un repère orthonormé $(O;I, J)$, on considère les points $A\left(x_A, y_A\right)$ et $B\left(x_B, y_B\right)$. La longueur du segment $[AB]$ est alors définie par $AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2}$. Exemple: Dans un repère orthonormé $(O;I, J)$ on considère les points $A(4;-1)$ et $B(2;3)$. On a ainsi:
$$\begin{align*} AB^2 &= \left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2 \\
&= (2 – 4)^2 + \left(3 – (-1)\right)^2 \\
&= (-2)^2 + 4^2 \\
&= 4 + 16 \\
&= 20 \\
AB &= \sqrt{20}
\end{align*}$$
Remarque 1: Il est plus "pratique", du fait de l'utilisation de la racine carrée, de calculer tout d'abord $AB^2$ puis ensuite $AB$.
Ainsi $\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha =\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{BC^2}=1$
[collapse]
II Projeté orthogonal
Définition 3: On considère une droite $\Delta$ et un point $M$ du plan. Si le point $M$ n'appartient pas à la droite $\Delta$, le point d'intersection $M'$ de la droite $\Delta$ avec sa perpendiculaire passant par $M$ est appelé le projeté orthogonal de $M$ sur $\Delta$;
Si le point $M$ appartient à la droite $\Delta$ alors $M$ est son propre projeté orthogonal sur $\Delta$. Propriété 5: Le projeté orthogonal du point $M$ sur une droite $\Delta$ est le point de la droite $\Delta$ le plus proche du point $M$. Preuve propriété 5
On appelle $M'$ le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $\Delta$. Nous allons raisonner par disjonction de cas:
Si le point $M$ appartient à la droite $\Delta$ alors la distance entre les points $M$ et $M'$ est $MM'=0$. Pour tout point $P$ de la droite $\Delta$ différent de $M$ on a alors $MP>0$. Geometrie repère seconde générale. Ainsi $MP>MM'$. Si le point $M$ n'appartient pas à la droite $\Delta$.
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