La fonction ƒ est définie et dérivable sur R et
ƒ'(x) = n (1 + x) n -1- n
= n [(1 + x) n -1 - 1]
Pour n ≥ 1, la fonction g: x → (1 + x)i
n-1 est croissante sur [0, +∞[ donc g(x) ≥ g(0)
C'est à dire (1 + x) n >-1 ≥ 1 et ƒ'(x) = n > [(1 + x) n >-1-1] ≥ 0. La fonction ƒ est donc croissante. On a donc: ƒ(a) ≥ ƒ(0)
C'est à dire (1 + a) n - na ≥ 1
Ou encore (1 + a) n ≥ 1 + na
Propriétés
Suite convergente
Soit (un)n∈N une suite de nombre réel et soit ℓ un nombre réel. La suite (un)n∈N converge vers ℓ si et seulement si tout intervalle ouvert L contenant ℓ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définition
Autrement dit la suite (un)n∈N converge vers ℓ si et seulement si, pour tout intervalle ouvert L contenant ℓ, on peut trouver un entier n0∈ N tel que, pour tout n∈ N, si n ≥ n0, alors un ∈ i. Unicité de la limite
Théorème et définition: Soit (un)n∈N une suite de nombres réels et soit ℓ ∈ R. Si la suite (un)n∈N converge vers ℓ, alors ℓ est unique. Unicité de la limite de dépôt des dossiers. On l'appelle la limite de la suite (un)n∈N et on note:
Remarques
● Attention!
- Unicité de la limite de dépôt des dossiers
- Unite de la limite centrale
- Unite de la limite et
- Unite de la limite au
- Unite de la limite se
Unicité De La Limite De Dépôt Des Dossiers
Inscription / Connexion Nouveau Sujet Posté par Reinnette 23-08-15 à 17:06 Bonjour à tous,
Dans un exercice, on me demande de démontrer que la dérivée d'une fonction f de classe C1 est constante. Voici l'extrait de la correction (mes remarques figurent en italique):
f'(x)=f'(6+(x-6)/(2 n))
on calcule 6+(x-6)/(2 n) lorsque n tend vers + l'infini et on obtient 6
et donc par unicité de la limite: f'(x)=f'(6)
Pourquoi par unicité de la limite? Qu'est ce que l'unicité de la limite? Ce qui nous donne que f est constante sur R.
Personnellement, j'ai l'impression que la seule conclusion que l'on peut tirer de ce qui précède est que f'(x)=f'(6) lorsque n tend vers l'infini. Merci d'avance! Posté par Robot re: Unicité de la limite 23-08-15 à 17:46 Citation: Pourquoi par unicité de la limite? Qu'est ce que l'unicité de la limite? Par continuité de, si tu préfères. Citation:
Ton impression est fausse. On a montré que pour tout. Limite d'une suite - Cours maths 1ère - Tout savoir sur la limite d'une suite. Ca entraîne bien que est constante. D'abord, où vois-tu dans? Posté par Reinnette re: Unicité de la limite 23-08-15 à 17:55 Si on prend x=7 et n=1, on obtient f'(x)=7
Je ne comprends pas... ;(
Posté par Robot re: Unicité de la limite 23-08-15 à 18:41
Ce topic
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Unite De La Limite Centrale
Merci (:D
Unite De La Limite Et
On dit que la suite (un)n∈N a pour limite -∞ si, pour tout nombre réel M, tous les un sont inférieurs à M à partir d'un certain rang. Remarque
Suites de référence
● On en déduit que les suites
(-√n), (-n), (-n²), (-n3)...., (-np) avec p ∈ N* et (-qn) que q > 1 ont pour limite -∞. Unite de la limite au. Démonstration de la propriété
Pour montrer qu'une suite (un) n ∈ N tend vers +∞, il faut montrer que pour tout nombre réel M, un > M pour n suffisamment grand. Il suffit donc de trouver un rang à partir duquel un > M
● un = √n
On a donc √n > M dès que n > M² d'où pour tout n > M², √n > M
et on a
Démonstration
● Nous avons déjà vu dans l'exemple que
● un = np pour p ≥ 1
Comme p ≥ 1, pour tout n ∈ N, on a np ≥ n, donc si n > M, on a np ≥ M.
d'où
Soient q > 1 et un = qn
Posons q = 1 + a alors a > 0 et un = (1 + a)n
Admettons un instant que (1 + a)n > 1 + na > na (nous le montrerons tout de suite après)
d'où si
alors un = qn > na > M
donc
Montrons (1 + a) n > 1 + na
Pour cela, posons ƒ(x) = (1 + x)n - nx où n ∈ N*.
Unite De La Limite Au
Uniquement en cas de convergence
Supposons l'existence de deux limites distinctes $\ell_1<\ell_2$. Posons $\varepsilon=\dfrac{\ell_2-\ell_1}3>0$. La définition de la limite donne dans les deux cas:
$$\exists n_1\in\N\;/\;\forall n\geqslant n_1, \;\ell_1-\varepsilon\leqslant u_n\leqslant\ell_1+\varepsilon=\dfrac{2\ell_1+\ell_2}3$$
$$\exists n_2\geqslant n_1\;/\;\forall n\geqslant n_2, \;\dfrac{\ell_1+2\ell_2}3=\ell_2-\varepsilon\leqslant u_n\leqslant\ell_2+\varepsilon$$
On en déduit que:
$$\forall n\geqslant n_2, \;u_n\leqslant\dfrac{2\ell_1+\ell_2}3<\dfrac{\ell_1+2\ell_2}3\leqslant u_n$$
(l'inégalité est bien stricte puisque la différence est égale à $\varepsilon$) ce qui est absurde.
Unite De La Limite Se
Un tel espace est toujours T 1 mais n'est pas nécessairement séparé ni même seulement à unique limite séquentielle. On peut par exemple considérer la droite réelle munie de sa topologie usuelle et y ajouter un point 0' (qui clone le réel 0) dont les voisinages sont les voisinages de 0 dans lesquels on remplace 0 par 0'. Dans cet espace, la suite (1/ n) converge à la fois vers 0 et 0'. Unite de la limite et. Notes et références [ modifier | modifier le code]
Article connexe [ modifier | modifier le code]
Espace faiblement séparé
v · m Axiomes de séparation
Espace de Kolmogorov ( T 0)
Espace symétrique ( R 0)
Espace accessible ( T 1)
Espace séparé ( T 2)
Espace régulier ( T 3)
Espace complètement régulier ( T 3 ½)
Espace normal ( T 5)
Portail des mathématiques
Il est clair que si ce n'est vrai que pour un seul >0, alors on ne peut pas en conclure que la constante est négative (ou nulle). Et le fait que ce soit une constante indépendante de x est important. En effet, de manière générale on est souvent amener à majorer la quantité |f(x)-l| par, c'est-à-dire écrire:
|f(x)-l|<. On ne peut clairement pas ici appliquer le même raisonnement et en déduire que |f(x)-l| 0. Pourquoi? Cela se voit bien si l'on écrit les quantificateurs proprement. Par exemple dire que f(x) tend vers l en a:
>0, >0/ x, |x-a|< |f(x)-l|<
Il est donc faux de dire que pour tout >0, |f(x)-l|<. Les-Mathematiques.net. Il faut dire que pour tout >0, et pour tout x assez proche de a, |f(x)-l|<. Aucune raison donc ici de pouvoir passer à la limite 0 car à chaque fois que l'on prend un nouvel, le domaine des x où l'inégalité est vraie varie. Par contre, dans le cas d'une constante indépendante de x, eh bien on se débarrasse justement du problème de la dépendance en x. On prend >0, et on a directement |l-l'|<.