On dit que f admet un développement limité d' ordre n [ 2] (abrégé par DL n) en x 0, s'il existe n + 1 réels a 0, a 1,..., a n tels que la fonction définie par:
vérifie: R ( x) tend vers 0 lorsque x tend vers x 0, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme, c'est-à-dire que:
Les fonctions R vérifiant ceci sont notées o (( x – x 0) n) (voir l'article « Comparaison asymptotique », et plus précisément la famille des notations de Landau). On écrit donc:
Il est fréquent d'écrire un développement limité en posant x = x 0 + h:
Conséquences immédiates
Si f admet un DL 0 en x 0, alors a 0 = f ( x 0). Développement limité racine. Si f admet un DL n en x 0, alors elle admet un DL k en x 0 pour tout entier k < n. Une condition nécessaire et suffisante pour que f admette un DL n en x 0 est l'existence d'un polynôme P tel que f ( x) = P ( x) + o (( x – x 0) n). S'il existe un tel polynôme P, alors il en existe une infinité d'autres, mais un seul d'entre eux est de degré inférieur ou égal à n: le reste de la division euclidienne de P ( X) par ( X – x 0) n +1 [ 3].
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Pour calculer le développement limité en 0 de la fonction `f: x->cos(x)+sin(x)/2`, à l'ordre 4, il suffit de saisir
developpement_limite(`cos(x)+sin(x)/2;x;0;4`) après calcul, le résultat est retourné. Syntaxe:
developpement_limite(fonction;variable;valeur;ordre),
fonction, la fonction pour laquelle, on souaite obtenir le développement,
variable désigne la variable utilisée pour le développement,
valeur le point auquel on souhaite obtenir le developpement,
ordre, l'ordre du développement. Exemples:
developpement_limite(`cos(x);x;0;4`), renverra `(x^4)/24+(-x^2)/2+1`
Calculer en ligne avec developpement_limite (Calcul le développement limité d'une fonction)
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Notes et références [ modifier | modifier le code]
↑ La notion de développement limité peut se généraliser au cas où la fonction est à valeurs complexes ou vectorielles, mais ce cas n'est pas abordé dans cet article; pour d'autres généralisations, voir l'article développement asymptotique. ↑ a et b Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques, t. 2: Analyse, Bordas, 1977, 4 e éd., p. 148, définition IV. 7. 2; le polynôme lui-même (qui est unique s'il existe) est appelé par eux développé limité de f, et noté DL n ( f) ou, si la précision est nécessaire, DL n ( f, x 0). ↑ Pour une démonstration, voir par exemple le § « Définition » du chapitre « Développements limités » sur Wikiversité. Calcul de Développements Limités - DL - Série de Taylor en Ligne. ↑ a et b Pour une démonstration, voir par exemple le § « Somme et produit » du chapitre « Développements limités » sur Wikiversité. ↑ Un exemple est présenté dans le § « Composition » du chapitre « Développements limités » sur Wikiversité. ↑ C'est une application de la règle de L'Hôpital.
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Astuces:
Après avoir observé ces DL pendant des heures, on a finalement réussi à trouver des points communs entre toutes ces relations, ce qui peut faciliter leur apprentissage! Tout d'abord, cela n'est pas précisé sur la fiche ci-dessus, mais pour l'astuce, il est nécessaire expliciter le nom des fonctions:
cos(x) correspond à la fonction cosinus, sin(x) à la fonction sinus, ch(x) à la fonction cosinus hyperbolique, sh(x) à la fonction sinus hyperbolique, e x correspond à la fonction exponentielle, ln(1+x) correspond à une fonction logarithme, 1/(1+x) à la fonction « fraction positive », 1/(1-x) à la fonction « fraction négative », √(1+x) correspond à la fonction racine carrée et enfin, √(1/(1+x)) à la fonction « fraction racine carrée ». Astuce 1: On remarque que toutes les fonctions ci-dessus, qui possèdent la lettre « a » dans leur nom, possèdent aussi le signe (-) juste après le tout premier terme, en effet c'est le cas des fonctions: log a rithme, fr a ctions, et des fonctions sinusoïd a les (cosinus et sinus).
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Leur point commun? Ces cinq équivalents possèdent un c dans leurs noms (ou la sonorité d'un c pour e x ponentiel), ainsi ils seront toujours suivis d'un (-1) pour donner un équivalent! A l'inverse, dans la ligne du dessous qui comprend le logarithme, le sinus, le sinus hyperbolique, la tangente, et la tangente hyperbolique, aucun ne possède la lettre c dans leurs noms, il n'y a donc pas de (-1)! Développement limité racine carrée. À propos Articles récents Éditeur chez JeRetiens Étudiant passionné par tout ce qui est relatif à la culture générale, à la philosophie, ainsi qu'aux sciences physiques! Les derniers articles par Adrien Verschaere ( tout voir)
Pour une démonstration, voir par exemple le § « Dérivation et intégration terme à terme » du chapitre « Développements limités » sur Wikiversité. ↑ Voir par exemple le § « Formules de Taylor » du chapitre « Développements limités » sur Wikiversité. Articles connexes [ modifier | modifier le code]
Série de Taylor
Interpolation polynomiale
Développement asymptotique
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