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Pour déterminer l'image d'un nombre à l'aide d'un tableau, il suffit de repérer ce nombre dans la première ligne du tableau et de lire son image sur la seconde ligne. Ici, l'image de 2 2 est 7 7. Pour déterminer un antécédent d'un nombre à l'aide d'un tableau, il suffit de repérer ce nombre dans la deuxième ligne du tableau et de lire son antécédent sur la première ligne. Ici, un antécédent de 1 1 est − 1 -1. Fonction définie par un graphique
La courbe C k Ck est constituée de tous les points de coordonnées ( x; k ( x)) (x\; k(x)). Ce graphique définit la fonction k k qui à chaque valeur de x x associe le nombre y = k ( x) y = k(x). Pour déterminer l'image d'un nombre à l'aide d'un graphique, il suffit de repérer sur la courbe le point ayant ce nombre pour abscisse et de lire son ordonnée. Maths 3ème : cours et exercices de mathématiques au programme de troisieme. Ici, l'image de − 2 -2 est − 1, 7 -1, 7. Pour déterminer un antécédent d'un nombre à l'aide d'un graphique, il faut repérer sur la courbe le (ou les) point(s) ayant ce nombre pour ordonnée et de lire son (ou leurs) abscisse(s).
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Ici, des antécédents de 3 3 sont 0, 7 0, 7 et 2, 4 2, 4. Astuce
La représentation graphique permet de visualiser rapidement le « comportement » d'une fonction, notamment de repérer les valeurs maximum ou minimum, pour quelles valeurs de variable elles sont obtenues, etc. Si la fonction à étudier est définie par une formule ou un tableau de valeurs, il peut être utile d'en déterminer une représentation graphique. Les fonctions 3eme maths 5. Représentation graphique d'une fonction
Représentation graphique d'une fonction:
Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction f f est l'ensemble des points M M de coordonnées ( x; f ( x)) (x\; f(x)). À retenir
x x se lit sur l'axe des abscisses. y = f ( x) y=f(x) se lit sur l'axe des ordonnées. Reprenons la fonction h h définie par la formule h ( x) = 6 x − x 2 h(x)=6x-x^2 et construisons sa représentation graphique. La variable x x représentant une longueur, elle ne peut pas prendre de valeurs négatives. 6 − x 6-x étant la longueur de l'autre côté du rectangle, x x ne peut pas non plus être supérieur à 6 6.
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Notion d'image et d'antécédent
Image:
L'image du nombre x x par la fonction f f est le nombre y y tel que y = f ( x) y=f(x)
Antécédent:
Un antécédent du nombre y y par la fonction f f est un nombre x x tel que f ( x) = y f(x)=y
Par la fonction f f:
le nombre 6 6 a pour image le nombre 15 15;
le nombre 15 15 a pour antécédent le nombre 6 6. Attention
L'image d'un nombre est unique. L'antécédent d'un nombre, lui, peut ne pas être unique. Soit la fonction g g qui à un nombre associe son carré diminué de 1 1. La fonction g g s'écrit:
g: x ↦ x 2 − 1 g:x \mapsto x^2-1
Pour x = 3 x=3:
g ( 3) = 3 2 − 1 = 8 g(3)=3^2-1=8
Le nombre 3 3 a pour image le nombre 8 8. Pour x = − 3 x=-3:
g ( − 3) = ( − 3) 2 − 1 = 8 g(-3)=(-3)^2-1=8
Le nombre − 3 -3 a pour image le nombre 8 8. Le nombre 8 8 a donc deux antécédents: les nombres 3 3 et − 3 -3. 3e Notion de fonctions - Maths à la maison. Définition d'une fonction et détermination d'images et d'antécédents
Fonction définie par une formule
On veut calculer la surface d'un rectangle sachant qu'un côté doit mesurer 6 m e ˋ tres 6\text{ mètres} moins la longueur de l'autre côté.
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Soit x x la longueur d'un côté en mètres. L'autre côté doit mesurer 6 − x m e ˋ tres 6-x\text{ mètres}. Soit S S la surface du rectangle en m 2 \text{m}^2, on a:
S = x × ( 6 − x) = 6 x − x 2 S= x \times (6-x)=6x-x^2
La formule h ( x) = 6 x − x 2 h(x)=6x-x^2 définit la fonction h h qui associe au nombre x x (correspondant à la longueur d'un côté du rectangle en mètres) le nombre h ( x) h(x) (représentant sa surface S S en m 2 \text{m}^2). Pour déterminer l'image d'un nombre à l'aide d'une formule, il suffit de remplacer x x par la valeur du nombre dans la formule. Les fonctions 3eme maths games. Ici, l'image de 1 1 est h ( 1) = 6 × 1 − 1 2 = 5 h(1) = 6\times 1 - 1^2 = 5
Pour déterminer un antécédent d'un nombre à l'aide d'une formule, il faut remplacer h ( x) h(x) par la valeur du nombre dans la formule puis trouver une valeur de x x qui la vérifie. Ici, un antécédent de 8 8 est tel qu'il vérifie l'équation 8 = 6 x − x 2 8=6x-x^2
Or 6 × 2 − 2 2 = 12 − 4 = 8 6 \times 2-2^2=12-4=8
Donc 2 2 est un antécédent de 8 8. Fonction définie par un tableau
x x
− 3 -3
− 2 -2
− 1 -1
0 0
1 1
2 2
3 3
f ( x) f(x)
5 5
7 7
9 9
Ce tableau définit la fonction f f qui à chaque nombre x x de la première ligne associe le nombre f ( x) f(x) de la seconde ligne.
Nous étudierons donc la valeur de h ( x) h(x) pour des valeurs de x x comprises entre 0 0 et 6 6. Voici un tableau de valeurs de la fonction h h pour les valeurs entières de la variable x x. On peut maintenant construire le graphique des points de coordonnées ( x; h ( x)) (x\; h(x)). Soient donc les points:
A ( 0; 0) A(0\; 0)
B ( 1; 5) B(1\; 5)
C ( 2; 8) C(2\; 8)
D ( 3; 9) D(3\; 9)
E ( 4; 8) E(4\; 8)
F ( 5; 5) F(5\; 5)
G ( 6; 0) G(6\; 0)
On positionne ces points dans un repère adapté dans lequel on aura en abscisse les valeurs de x x et en ordonnée les valeurs de h ( x) h(x). Comprendre et utiliser la notion de fonction : cours 3eme Maths. On obtient le graphique ci-dessous:
En reliant tous les points, on obtient une courbe constituée de tous les points de coordonnées ( x; h ( x)) (x\; h(x)). On a ainsi construit la courbe C h Ch, représentation graphique de la fonction h ( x) = 6 x − x 2 h(x)=6x-x^2 pour des valeurs de x x comprises entre 0 0 et 6 6.