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Vidéo 1: La fonction exponentielle. D. S. sur la fonction Exponentielle
Devoirs
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Fonction Exponentielle Terminale Es
7. 1 La fonction exponentielle
Définition
On a vu dans le chapitre précédent que l'équation ln( x) = m admet une unique solution pour tout m ∈ R et cette solution est un réel strictement positif. Autrement dit, pour tout x ∈ R, il existe un unique y > 0 tel que x = ln( y). Définition 7. 1
La fonction exponentielle est la fonction définie sur R qui, à chaque réel x associe le réel strictement positif y vérifiant x = ln( y). La fonction exponentielle est notée exp. Exemple 7. 1
– On a ln(1) = 0 donc exp(0) = 1. – On a ln(e) = 1 donc exp(1) = e, où e est le réel défini au chapitre 6 comme étant l'antécédent
de 1 par la fonction ln. e valant environ 2, 718
Remarque 7. 1
On a vu que pour n ∈ Z, ln(e n) = n × ln(e) = n. Donc en utilisant la définition de la fonction
exponentielle, on a: pour tout n ∈ Z, exp( n) = e n. Par convention, on généralise cette notation
à tous les nombres: pour x ∈ R on note e x l'image de x par la fonction exponentielle. Pour x ∈ R, on a: e x = exp( x)
7. 1. 2 Premières propriétés
Propriété 7.
Voici les autres. Propriétés
Propriétés de la fonction exponentielle
Voici un grand nombre de propriétés sur cette fonction exponentielle. La fonction exponentielle est strictement croissante sur. Pour tout réel x, e x > 0. Pour tout a, b ∈,
e a < e b ⇔ a < b
e a = e b ⇔ a = b
Pour tout x > 0, e ln x = x. Pour tout réel x, ln (e x) = x. La fonction exponentielle est dérivable sur et pour tout réel x, ( e x)' = e x. Si u est une fonction dérivable sur, alors:
( e u)' = u ' e u
Pour tout x, y ∈,
e x + y = e x e y
Pour tout réel x,
Pour tout x ∈ et tout n ∈,
( e x) n = e nx
Ces propriétés sont primordiales. Cela doit être un automatisme pour vous. Vous deviez déjà en connaître certaines, relatives à la fonction puissance. Je veux juste insister sur une chose en particulier. Retenez ceci: la exponentielle est toujours positive. Elle peut, contrairement à sa soeur logarithme, "manger" du négatif, mais le résultat est toujours positif. 3 - Tracé de la fonction exponentielle
Le domaine de définition de la fonction exponentielle est:.
Les Fonction Exponentielle Terminale Es Les Fonctionnaires Aussi
1. Définition
Il existe une seule fonction dérivable sur telle que:
On appelle cette fonction la fonction exponentielle
et on la note. On note le nombre par. D'où:
Exemple:
Soit la fonction définie
par alors
2. Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle
3. Propriétés algébriques
Soit et deux nombres réels et
un nombre entier naturel. On a les
propriétés algébriques
suivantes:
Exemple
Ces propriétés algébriques peuvent
être mémorisées en pensant aux
propriétés des puissances et elles se
démontrent en utilisant la relation fonctionnelle
de la fonction exponentielle. Preuves:
( n facteurs)
(somme de n termes de
a)
4. Le nombre e
Le nombre e
est un nombre réel défini par e 1 = e.
La notation e
est la valeur exacte de ce nombre. Sa valeur
approchée est
Remarque: par combinaison, les valeurs e n sont
aussi des valeurs exactes. Montrons que. On a donc
Résoudre dans l'équation. Donner la valeur exacte de la solution puis une valeur
approchée à 0, 01 près. 5. Signe de exp(x) pour tout nombre réel x
I. Généralités. Théorème et définition:
Il existe une unique fonction f f, dérivable sur R \mathbb R telle que
f ′ = f f'=f
f ( 0) = 1 f(0)=1
On la nomme fonction exponentielle; elle sera notée exp () \exp()
Démonstration:
L'existence est admise. On montre ici l'unicité d'une telle fonction. Etape 1
Montrons d'abord qu'une telle fonction ne s'annule pas sur R \mathbb R.
Posons
h ( x) = f ( x) f ( − x) h(x)=f(x)f(-x)
f f étant définie et dérivable sur R \mathbb R, h h est définie et dérivable sur R \mathbb R.
On a alors
h ′ ( x) = f ′ ( x) f ( − x) + f ( x) ( − f ′ ( − x)) h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)(-f'(-x))
h ′ ( x) = f ′ ( x) f ( − x) − f ( x) f ′ ( − x) h'(x)=f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x)
Or par hypothèse,
Donc
h ′ ( x) = f ( x) f ( − x) − f ( x) f ( − x) = 0 h'(x)=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0
Ainsi, la fonction h est constante. On connait une valeur de f: f ( 0) = 1 f(0)=1.
Les Fonction Exponentielle Terminale Es 6
1. Fonctions exponentielles de base [latex]q[/latex]
Théorème et définition
Soit [latex]q[/latex] un réel strictement positif.
Inscription / Connexion Nouveau Sujet Bonjour à tous! J'ai une équation à résoudre, mais je suis bloqué.. si quelqu'un pourrait m'éclaircir! Voici l'équation:
32 = (37. 2 - 20)(1. 25exp(-0. 05445x)) - 0. 25exp(-5 × 0. 05445x) + 20
Ensuite, j'ai fait:
12 = 17. 2(1. 05445x)
Et:
12 = 21. 5exp(-0. 05445x) - 0. 05445x)
Puis je ne vois pas comment faire, j'ai essayé avec le ln, mais je n'obtiens rien de concluant... Merci d'avance pour votre aide! Bonne journée
Posté par Mateo_13 re: Équation avec exponentielles 21-05-22 à 17:35 Bonjour,
j'ai utilisé le bouton LateX de l'éditeur:
Je ferais un changement de variable:
et je résoudrais l'équation polynomiale. Cordialement,
--
Mateo. Posté par Leile re: Équation avec exponentielles 21-05-22 à 17:39 bonjour,
je pose a= -0, 05445 pour y voir plus clair. à partir de 12 = 17. 05445x)
ça donne (sauf erreur de lecture de ma part):
17, 2 ( 5/4 e ax - 1/4 e 5ax) = 12
la partir bleue, tu peux encore factoriser par (1/4)e ax...
nb: d'où vient cette équation?
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