En utilisant les notations du cours, on pose:. Nous obtenons alors:
Le système peut donc s'écrire:. (C'est la troisième équation du système précédent qu'il faut garder car elle est du premier degré en y. ) Nous remarquons que x = 5 est une racine évidente de la troisième équation. Le système s'écrira donc:. Pour finir de résoudre la troisième équation, il nous reste à résoudre:,
qui a pour solution:. En joignant la solution x = 5, les valeurs possibles de x sont:. Exercice sur le polynômes du troisième degré | PrepAcademy. De la deuxième équation du système, nous tirons:. En conséquence, les valeurs de y correspondantes respectivement aux valeurs de x trouvées précédemment sont:
Et comme:,
les valeurs respectives de z correspondantes sont:
Exercice 1-5 [ modifier | modifier le wikicode]
Soient un polynôme du second degré et. Montrer que. Exercice 1-6 [ modifier | modifier le wikicode]
On veut construire une boîte de base carrée de volume 562, 5 cm 3 en découpant, à chaque coin d'une plaque en carton de 20 cm de côté, un carré de côté x cm, et en repliant bord à bord les quatre rectangles ainsi créés.
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Fonction Polynôme De Degré 3 Exercice Corrigé Et
Soit P le polynôme défini sur \mathbb{R} par P\left(x\right)=3x^3-8x^2-5x+6 P\left(-1\right)=0 P\left(-1\right)=1 P\left(-1\right)=-1 P\left(-1\right)=2 Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x: P\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(ax^2+bx+c\right). a=3, \ b=-11\ \text{et} \ c=6 a=-11, \ b=-3\ \text{et} \ c=7 a=5, \ b=6\ \text{et} \ c=-3 a=-4, \ b=-2\ \text{et} \ c=2 En déduire les éventuelles solutions de l'équation: 3x^3-8x^2-5x+6=0. S=\left\{ -1; \dfrac{2}{3}; 3\right\} S=\left\{ -3; \dfrac{2}{3}; 2\right\} S=\left\{ -3; 5; 2\right\} S=\left\{ 5; \dfrac{4}{5}; -1\right\} Exercice suivant
Fonction Polynôme De Degré 3 Exercice Corrige
Remarque: on retrouvera ce résultat au chapitre 4.
c) Application à la résolution d'équations. α) L'équation:
se met sous la forme, avec:
Or la racine double de P' est racine de P car
Par conséquent, est racine triple de P, et les racines de l'équation à résoudre sont donc:. β) L'équation:
avec. Calculons le nombre qui, d'après la question b, sera racine double de P s'il est racine de P'...
Par conséquent, est bien racine double de P, et l'autre racine est. Les racines de l'équation à résoudre sont donc:. Remarque: nous retrouverons ces deux équations dans l'exercice 4-3. Fonction polynôme de degré 3 exercice corrige. Exercice 1-4 [ modifier | modifier le wikicode]
Résoudre le système de trois équations à trois inconnues suivant:. Portons z de la troisième équation dans les deux premières:. Le système peut alors se réécrire ainsi:. Nous allons éliminer y entre les deux dernières équations en utilisant leur résultant par rapport à y. La dernière équation est considérée comme de degré par rapport à y car on ne peut pas avoir à la fois et.
Fonction Polynôme De Degré 3 Exercice Corrige Les
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Exercice 1-1 [ modifier | modifier le wikicode]
Donner le degré des équations suivantes:
a)
b)
Solution
a) L'équation peut s'écrire:
L'équation donnée était donc du troisième degré. b) Développons les deux membres, on obtient:
L'équation donnée était donc du second degré. Exercice 1-2 [ modifier | modifier le wikicode]
Résoudre les équations suivantes:;;. a) Résolvons l'équation:. Elle a une racine évidente. On factorise, comme dans la démonstration du cours ou bien en écrivant a priori:,
puis en développant pour identifier les coefficients:
donc,, (et),
ce qui donne:,,
donc. Les deux solutions de sont et donc les trois solutions de sont, et. b) Résolvons l'équation:. Factoriser un polynôme de degré 3 - 1ère - Exercice Mathématiques - Kartable. Nous voyons que l'équation admet la racine évidente x 1 = -2. Nous pouvons donc la factoriser par x + 2. Nous obtenons:. Cette factorisation a été faite de telle façon qu'en développant, on retrouve le terme de plus haut degré et le terme constant.
ce qui donne b = − 3 b= - 3 et a = 1 a=1
On a donc f ( x) = ( x − 1) ( x 2 + x − 3) f\left(x\right)=\left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right)
Trouver les racines de f f, c'est résoudre l'équation f ( x) = 0 f\left(x\right)=0. Fonction polynôme de degré 3 exercice corrigé. ( x − 1) ( x 2 + x − 3) = 0 \left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right)=0 est une équation "produit nul":
( x − 1) ( x 2 + x − 3) = 0 ⇔ x − 1 = 0 \left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right)=0 \Leftrightarrow x - 1=0 ou x 2 + x − 3 = 0 x^{2}+x - 3=0
La première équation a pour solution x = 1 x=1 (ce qui confirme la réponse de la question 1. ) et la seconde admet comme solutions:
x 1 = − 1 + 1 3 2 x_{1} = \frac{ - 1+\sqrt{13}}{2}
x 2 = − 1 − 1 3 2 x_{2} = \frac{ - 1 - \sqrt{13}}{2} (voir détail résolution). f f admet donc 3 racines: 1, − 1 + 1 3 2, − 1 − 1 3 2 1, \frac{ - 1+\sqrt{13}}{2}, \frac{ - 1 - \sqrt{13}}{2}.