- Limite de suite géométrique exercice corrigé
- Limite suite géométrique
- Limite suite géométriques
- Limite suite geometrique
Limite De Suite Géométrique Exercice Corrigé
Si deux suites u et v tendent toutes les deux vers l'infini ou tendent toutes les deux vers 0 alors on ne peut pas conclure directement pour la limite de u÷v: ce sont de nouvelles formes indéterminées. Formes indéterminées
Voyons maintenant comment on calcule la limite d'une suite quand il y a une forme indéterminée. 1. Forme -∞+∞ ou +∞-∞
Exemple:. Il y a une forme indéterminée +∞-∞ car et. Méthode
1. On factorise l'expression par son terme de plus haut degré. 2. On utilise les règles de calcul sur la limite d'un produit. Calcul
Par produit de +∞ et de 1 on obtient. 2. Forme ∞×0
Dans ce cas, on peut essayer de multiplier les deux suites entre elles pour se ramener à un quotient. Limite de suite géométrique exercice corrigé. Exemple
3. Forme ∞÷∞
En général, cela se produit en présence d'un quotient de deux polynômes. Dans ce cas, on factorise le haut et le bas par le terme de plus haut degré du polynôme le plus petit. Exemples
- Pour on factorise par n 3. - Pour on factorise par n 4. - Pour on factorise par n 2. Ensuite, on utilise les règles sur les limites d'une somme et d'un quotient.
Limite Suite Géométrique
A long terme, combien le lac comptera-t-il de poissons? Voir la solution Les mots "A long terme" signifient que l'on doit calculer la limite de $(u_n)$. $0<0, 5<1$ donc $\lim 0, 5^n=0$. Par produit par $-1000$, $\lim -1000\times 0, 5^n=0$. Par somme avec $2500$, $\lim 2500-1000\times 0, 5^n=2500$. Limite suite geometrique. Par conséquent, à long terme, le lac comptera 2500 poissons. Niveau moyen
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u_n=\frac{2^{n}}{3^{n-1}}$. Voir la solution Ici, il est nécessaire de transformer l'expression de $u_n$ afin de pouvoir appliquer les règles de calcul de limite. $u_n=\frac{2^{n}}{3^{n-1}} \\
\qquad =\frac{2^{n}}{3^n\times 3^{-1}} \\
\qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times \frac{1}{3^{-1}} \\
\qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times 3^1 \\
\qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times 3 \\
\qquad =\left(\frac{2}{3}\right)^n\times 3$
Comme $0<\frac{2}{3}<1$ alors $\lim\left(\frac{2}{3}\right)^n=0$. Par produit par 3, on peut conclure que $\lim\left(\frac{2}{3}\right)^n\times 3=0$ ou encore, $\lim u_n=0$.
Limite Suite Géométriques
b. Carré de Von Koch
On considère un carré u 0 de
côté 9 cm. On note u 1 le
polygone obtenu en complétant u 0 de la
manière suivante: on partage en 3 segments
égaux chaque côté du polygone, et
on construit, à partir du
2 e segment obtenu, un triangle
équilatéral à l'extérieur
du polygone. Voici u 1:
On poursuit la construction avec le polygone
u 2 ci-dessous,
et ainsi de suite. On s'intéresse alors à la suite
( p n) des
périmètres des figures ( u n). Limite suite géométrique. p 0 = 36 cm
car u 0 est un
carré de côté 9 cm. p 1
= 48 cm car chacun
des 4 côtés de u 0 de longueur
9 cm a été remplacé
par 4 côtés de longueur
cm, soit
3 cm. p 2
= 64 cm car chacun
des 16 côtés de u 1 de longueur
3 cm a été remplacé
par 4 côtés de
longueur cm, soit 1 cm. La suite ( p n) semble
être une suite géométrique de
raison. C'est bien le cas puisque, pour passer de la figure
u n à
la figure u n +1, on remplace un
côté u n de
longueur a par 4 côtés
de u n +1 de
longueur. On a bien p n +1
= p n: la
suite est bien géométrique de raison.
Limite Suite Geometrique
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On considère la suite ( u n)
définie par u n = 3 n. On a u 0 = 1; u 1 = 3;
u 2 = 9;
u 3 = 27;
…
On considère maintenant la suite
géométrique ( u n) définie
par u n = 0, 2 n. Ainsi, u 0 = 1;
u 1 = 0, 2;
u 2 = 0, 04;
u 3 = 0, 008; …
b. Fonctions du type q^x, avec q un nombre
réel strictement positif
Les représentations graphiques des fonctions
définies sur par
f ( x) = q x sont
résumées dans le graphique suivant. c. Comportement de q^n lorsque n tend vers +∞
D'après le graphique
précédent, on peut admettre les
propriétés suivantes. Rappels sur les suites géométriques et notion de limite - Maxicours. Soit q un
nombre réel strictement positif et
n un nombre
entier naturel. > 1,
alors q n =
+∞. = 1,
1. Si 0 < q
< 1, alors q n =
0. 3. Modéliser avec une suite
a. Placement à intérêts
composés
Situation
Une personne place la somme de 10 000
€ sur un
placement à intérêts
composés lui rapportant 3% par an. Cela
signifie que, chaque année, 3% du montant
du placement sont ajoutés à la somme
déjà présente sur le placement. On
note u n le montant du
placement au bout de n années.
On cherche à partir de quel rang la suite passe au-dessous d'un certain seuil (que l'on se fixe de façon arbitraire). On peut résoudre l'inéquation à l'aide de la fonction ln, ou bien utiliser la table de valeurs de la calculatrice. Solution Pour tout entier naturel n,. Voici deux méthodes pour déterminer n selon que le cours sur le logarithme népérien a été fait ou non. ► Méthode 1 (logarithme népérien connu), donc le premier entier à partir duquel est. ► Méthode 2 (logarithme népérien inconnu) À l'aide d'une calculatrice, on effectue plusieurs essais: on prend au hasard n = 10 puis n = 20 pour calculer 0, 75 n. Ces valeurs ne convenant pas, on affine le choix de n. On obtient et. Le premier entier à partir duquel est donc. remarque Cet exercice est un classique et peut faire l'objet d'une étude à l'aide d'un algorithme ( > fiche 32). On peut aussi proposer des exercices avec une suite géométrique de raison supérieure à 1, de limite infinie et demander le premier rang à partir duquel on dépasse un seuil donné.