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Forme Exponentielle Complexe
Outil pour convertir les nombres complexes en notation forme exponentielle re^i et inversement en calculant les valeurs du modules et de l'argument principal du nombre complexe. Résultats
Forme Exponentielle Complexe -
Catégorie(s): Arithmétique, Géométrie
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Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce que la forme exponentielle d'un nombre complexe? La notation exponentielle d'un nombre complexe $ z $ d'argument $ \theta $ et de module $ r $ est: $$ z = r \operatorname{e}^{i\theta} $$
Exemple: Le nombre complexe $ z $ écrit sous forme cartésienne $ z = 1+i $ a pour module $ \sqrt(2) $ et argument $ \pi/4 $ donc sa forme exponentielle complexe est $ z = \sqrt(2) e^{i\pi/4} $
Qu'est ce que la formule d'Euler?
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Grâce aux nombres complexes, on peut déterminer des angles et des longueurs et donc résoudre des problèmes géométriques. Soient A et B, deux point d'affixes respectives z_A = 1+i et z_B = 2-3i. Calculer AB. Etape 1 Réciter le cours On rappelle que AB = \left| z_B-z_A \right|. On sait que:
AB = \left| z_B-z_A \right| Etape 2 Calculer \left( z_B-z_A \right) On écrit z_B -z_A sous sa forme algébrique afin d'en déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire. Or, on a:
z_B-z_A = 2-3i-\left(1+i\right)
z_B-z_A = 2-3i-1-i
Donc:
z_B-z_A = 1-4i Etape 3 Déterminer \left| z_B-z_A \right| On calcule \left| z_B-z_A \right| en utilisant la forme algébrique du complexe. Calculer forme trigonométrique nombre complexe en ligne commander. On en déduit que:
\left| z_B -z_A \right| = \left| 1-4i \right|
\left| z_B -z_A \right| = \sqrt{1^2+\left(-4\right)^2}
\left| z_B -z_A \right| = \sqrt{17} Etape 4 Conclure sur la longueur AB
On conclut en donnant la valeur de la longueur AB. On obtient:
AB = \sqrt{17} Le calcul de la longueur OA est un cas particulier du calcul de la longueur AB.
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Mots-clés
exponentielle, notation, argument, module, nombre, complexe
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Calculer Forme Trigonométrique Nombre Complexe En Ligne Pour 1
Méthode pour écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique
Pour un nombre complexe, on calcule tout d'abord son module puis on écrit le cosinus et le sinus de l'argument à partir desquels on détermine l'argument. Connaissant finalement et, il n'y a plus qu'à écrire la forme trigonométrique précédente. Exemple/exercice
Écrire sous forme trigonométrique.
L'argument d'un complexe est donc lui aussi défini à un multiple de 2π près. Autrement dit: Pour tout
2) On ne peut former un angle orienté avec le vecteur nul, c'est pour cette raison que ce vecteur est exlu de la définition. 8/ Argument d'un nombre complexe et point d'image
Soit P le plan complexe muni d'un repère orthonormé
et orienté dans le sens trigonométrique. z = x + yi
non nul élément de
ℂ
et M d'affixe z.
Par conséquent:
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé
Si
z ≠ 0
a pour image M alors:
Soit tout simplement pour
M ≠ 0
9/ Exemples d'arguments
10/ Caractérisation des réels et des imaginaires purs à l'aide de l'argument
z imaginaire pur à partie imaginaire > 0
z imaginaire pur à partie imaginaire
11/ Coordonnées cartésiennes, coordonnées polaires
Soit M un point du plan different de O.
Il existe deux façons de rpérer la position de M dans ce repère:
- Par ses coordonnées, cartésiennes: (x, y). - Et par ses coordonnées polaires
(r, θ). Forme trigonométrique d'un nombre complexe : exercice de mathématiques de IUT/DUT - 363963. Avec
Or M ayant pour affixe
Le couple ( |z|, argz) représente les coordonnées polaires de M(z).
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