= '
Car AC'( θ) D'après ces expressions, le produit scalaire de deux vecteurs n'est nul qu'à l'une de ces conditions: - Au moins l'un des vecteurs est nul - L'angle θ est de π (2 π), les deux vecteurs sont donc orthogonaux. 2 Expression analytique Si les vecteurs et ont pour coordonnées (x; y; z) (x'; y'; z') alors leur produit scalaire peut être exprimé à partir ces coordonnées:. = x. x' + y. y' + z. z'
Propriétés du produit scalaire dans l'espace Le propriétés sont les mêmes que dans un plan. La commutativité du produit scalaire:
Pour tous vecteurs et,. =. Commutativité des facteurs réels:
Pour tous vecteurs et et toute constante réelle k: k(. ) = (k). (k)
Distributivité:
Pour tous vecteurs, et:. ( +) =. +. Identités remarquables:
Pour tous vecteurs et: ( +) 2 = 2 + 2. + 2
Pour tous vecteurs et: ( -) 2 = 2 -2. + 2
Pour tous vecteurs et: ( +). ( -) = 2 - 2
Produit Scalaire Dans L'espace De Hilbert
Géométrie - Cours Terminale S
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Définition Soient et sont deux vecteurs quelconques de l'espace, A, B et C trois points tels que = et =. Quels que soient les points A, B et C il existe au moins un plan P contenant les vecteurs et (Si les vecteurs sont colinéaires il y en a une infinité sinon il n'y en qu'un). Le produit scalaire. =. dans l'espace se ramène donc au prdduit scalaire dans le plan P. Calculer un produit scalaire Puisque qu'on peut toujours ramener un produit scalaire dans l'espcace à un produit scalaire dans un plan, son expression reste la même:. = ( θ) = || ||. || ||( θ)
Le point " C' " est la projection orthogonale de "C" sur AB c'est à dire le point appartenant à AB tel que MM' soit perpendiculaire à AB
L'expression du produit scalaire peut s'écrire:.
Produit Scalaire Dans Espace
Ainsi est l'ensemble des points tels que et
soit orthogonaux. Il s'agit donc du plan passant par dont un vecteur normal
est. Exemple: On considère le plan d'équation. Un vecteur normal à ce plan est. Le point appartient au plan car:. Publié le 26-12-2017
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Produit Scalaire Dans L'espace De Toulouse
On a alors d = − a x A − b y A − c z A d = - ax_{A} - by_{A} - cz_{A} donc:
a x + b y + c z + d = 0 ⇔ a ( x − x A) + b ( y − y A) + c ( z − z A) = 0 ⇔ A M →. n ⃗ = 0 ax+by+cz+d=0 \Leftrightarrow a\left(x - x_{A}\right)+b\left(y - y_{A}\right)+c\left(z - z_{A}\right)= 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}. \vec{n} = 0
donc M ( x; y; z) M\left(x; y; z\right) appartient au plan passant par A A et dont un vecteur normal est n ⃗ ( a; b; c) \vec{n}\left(a; b; c\right)
Exemple
On cherche une équation cartésienne du plan passant par A ( 1; 3; − 2) A\left(1; 3; - 2\right) et de vecteur normal n ⃗ ( 1; 1; 1) \vec{n}\left(1; 1; 1\right).
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